Hızlı giden bir arabada geçen şöyle bir konuşma hayal edin.
Çocuk şoföre soruyor:
-Şu anki hızımız ne kadar Şoför Bey?
Arabanın hız göstergeci bozuk çocuğum… Ama bir saattir yoldayız ve bu bir saatte 60 km yol gittik. O zaman hızımız saatte 60 km.
-Ama bu son bir saatteki ortalama hızımız, ben şu anki hızımızı soruyorum.
– Son 10 dakikada 20 km yol gittik evladım. Demek ki hızımız saatte 120 km.
– Ama bu, son 10 dakikadaki ortalama hızımız, ben şu anki hızımızı soruyorum.
-Son 5 dakikada 11 km yol gittik yavrum. Demek ki hızımız saatte 132 km.
– Ama bu son beş dakikadaki ortalama hızımız, ben şu anki hızımızı soruyorum.
-Son 1 dakikada 2,5 km yol gittik canımın içi, demek ki hızımız saatte 150 km.
– Ama bu son bir dakikadaki ortalama hızımız, ben şu anki hızımızı soruyorum.
– Son 10 saniyede 500 metre yol gittik bir tanem, demek ki hızımız saatte 180 km.
-Ama bu son 10 saniyedeki ortalama hızımız, ben şu anki hızımızı soruyorum.
-Son 1 saniyede 52 metre yol gittik başımın belası. Demek ki hızımız saatte 187,2 km.4
– Ama bu, son 1 saniyedeki ortalama hızımız, ben şu anki hızımızı soruyorum.
– Elinin körü! Kaza yapacağım şimdi…
-Şu anki hızımız ne kadar?
– Hız dediğin şey yol bölü zamandır evlat, yani belirli bir zamanda alınan mesafenin o süreye oranıdır. Sen bana şu anki hızımızı soruyorsun. “Şu an” demekle neyi kastediyorsun? Şu an ne kadar uzundur, kaç saniye sürer?
– Ben sadece şu anki hızımızı merak ediyorum. Şu anki gerçek hızımız nedir?
– Yani son 0 saniyedeki hızımızı merak ediyorsun, öyle mi?
-Aynen!
-Son 0 saniyede 0 metre yol aldık. Daha hızlı gidemediğimiz için kusura bakma. Son 0 saniyede durduk da diyebilirsin. Dolayısıyla son sıfır saniyedeki ortalama hızımız 0/0 dır.
Hikayemiz bitti!
Ama matematik buradan sonra başlıyor. Yukarıdaki hikâyede 0 saniyedeki hızı bir belirsizlik olarak bulduk. Ortada gidilen yol olmadı ki hızı bulabilelim!
İnanması zor belki ama son 0 saniyedeki ortalama hızı hesaplayabiliriz. Bu ortalama hıza da o anki hız deriz.
Bunun için belli bir süredeki ortalama hızı nasıl hesapladığımıza bakalım: Örneğin son 6 dakikada gidilen yol 60 metre son 5 dakikada gidilen yol 25 metre olsun. Bu durumda son bir dakikadaki ortalama hızımız 30-25/6-5 = 5 metre olur. Şimdi son sıfır süredeki hızı hesaplayabilmek için h gibi bir süreyi düşünelim. son 5+h sürede alınan yol (5+h)5 ve son 5 sürede alınan yol da 25 olsun. O zaman h sürede alınan yol (5+h)5-25/5+h-5 olur. Buradan son h süredeki ortalama hız 5 olur. h=0 aldığımızda son 0 süredeki hızı yani anlık hızı buluruz. Burada artık 0/0 belirsizliğinden de kurtulmuş oluruz. İşte anlık durumları hesaplayabilmek için karşımıza çıkan kavram “Türev”dir.
Soru sormaktan vazgeçmeyin, matematik size mutlaka bir cevap verecektir.
Comments are closed.